Question

已經函數f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x．
（1）求f（x）遞增區間；
（2）求f（x）當x∈[0，

π

2

]時的值域．

Answer 1

分析：利用二倍角公式以及兩角和與差公式化簡為同角的正弦函數即可分析進行求解．

解答：解：∵f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x
=sin2x-cos2x
=

2

（cos（-

π

4

）sin2x+sin（-

π

4

）cos2x）
=

2

sin（2x-

π

4

）
（1）f（x）遞增區間為2x-

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]  k∈Z
即遞增區間為x∈[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]k∈Z）
（2）當x∈[0，

π

2

]
即2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∴f（x）_min=

2

sin（-

π

4

）=-1
f（x）_max=

2

sin（

π

2

）=

2

即f（x）當x∈[0，

π

2

]時的值域為[-1，

2

]

點評：此題考查了二倍角公式、兩角和與差公式以及同角三角函數的基本關系，熟練掌握公式是解題的關鍵，屬于中檔題．