Question

【題目】設，若存在常數，使得對任意，均有，則稱為有界集合，同時稱為集合的上界．

（1）設、，試判斷、是否為有界集合，并說明理由；

（2）已知，記（）．若，

，且為有界集合，求的值及的取值范圍；

（3）設均為正數，將中的最小數記為．是否存在正數，使得為有界集合， 均為正數的上界，若存在，試求的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）為有界集合； 不是有界集合．（2）滿足題設的實數的值為，且實數的取值范圍是．（3）

【解析】試題分析：（1）根據有界定義，可知有界， 無界（2）當， 有界，當時，用數學歸納法可得，故為有界集合，當時， ，

由累加法得，故不是有界集合（3）不妨設若，可證得；若， ，所以有上界，

試題解析：（1）對于，由得，解得， 為有界集合；

顯然不是有界集合．

（2）記，則．

若，則， ，即，且，從而．

（ⅰ）當時， ，所以，從而為有界集合．

（ⅱ）當時，由， ，顯然，此時，利用數學歸納法可得，故為有界集合．

（ⅲ）當時， ， ，即，

由累加法得，故不是有界集合．

因此，當，且時， 為有界集合；當，且時， 不是有界集合；

若，則，即，又（），即（）．于是，對任意，均有，即（），再由累加法得，故不是有界集合．

綜上，當，且時， 為有界集合；當，且時， 不是有界集合；

當 ()時， 不是有界集合．

故，滿足題設的實數的值為，且實數的取值范圍是．

（3）存在．不妨設．若，則，且．故 ，

即；

若，則，即，又，故，又 ，

即 ，因此， 是有界集合的一個上界．

　　下證：上界不可能出現．

假設正數出現，取， ，則，

此時，

（*）

由式（*）可得，與是的一個上界矛盾！．

綜上所述，滿足題設的最小正數的值為．