Question

【題目】雙曲線C的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為 ，漸近線方程為 ．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)k為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)雙曲線的方程是 ，則 ， ．

又∵c2=a2+b2，∴b2=1， ．

所以雙曲線的方程是3x2﹣y2=1．

（2）解：①由

得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，

由△＞0，且3﹣k2≠0，得 ，且 ．

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，

所以 x1x2+y1y2=0．

又 ， ，

所以 y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=1，

所以 ，解得k=±1．

【解析】（1）設(shè)雙曲線的方程是 ，則 ， ．由此能求出雙曲線的方程．（2）由 ，得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，得 ，且 ．設(shè)A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），由以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，知 x1x2+y1y2=0．由此能夠求出k=±1．