Question

【題目】已知，n∈N*.

（1）設f(x)＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，

①求a0+a1+a2+…+an；

②若在a0，a1，a2，…，an中，唯一的最大的數是a4，試求n的值；

（2）設f(x)＝b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+bn(x+1)n，求.

Answer 1

【答案】（1）①；②n＝12或13；（2）(2n+1﹣2﹣n)

【解析】

（1）①可令x＝1，代入計算可得所求和；②可得f(x)＝(x+2)n＝(2+x)n的通項公式，ar最大即為ar≥ar﹣1，且ar≥ar+1，化簡計算，結合不等式的解，可得所求值；

（2）由f(x)＝[1+(x+1)]n，可得br＝C，r＝0，1，…，n，推得，再由二項式定理，計算可得所求和.

解：（1）①由(x+2)n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，

可令x＝1，可得3n＝a0+a1+a2+…+an，

即a0+a1+a2+…+an＝3n；

②f(x)＝(x+2)n＝(2+x)n，

可得ar2n﹣rxr，r＝0，1，…，n，

若在a0，a1，a2，…，an中，ar最大，

可得，即為，

化為，由于r＝4時為a4唯一的最大值，

可得n＝12，13；

（2）由f(x)＝b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+bn(x+1)n，

且f（x）＝[1+(x+1)]n，可得br＝C，r＝0，1，…，n，

則，

由，

則(C)(2n+1﹣2﹣n).