Question

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí), (其中e是自然界對(duì)數(shù)的底,)
（Ⅰ）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是3 ？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

(Ⅰ)見解析;（Ⅱ）存在，

解析試題分析：(Ⅰ)根據(jù)已知條件和奇函數(shù)的定義與性質(zhì)，先求出函數(shù)在整個(gè)定義域的解析式，再由和的關(guān)系列不等式，由函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系解不等式即可；（Ⅱ）首先假設(shè)這樣的存在，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性找到最小值，注意解題過程中要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，不能漏解.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則，所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/34/4/yo5kg2.png" style="vertical-align:middle;" />是定義在上的奇函數(shù)，所以, 
故函數(shù)的解析式為  ,           2分
證明：當(dāng)且時(shí)，，設(shè),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/13/6/1tuio2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/33/2/sklae2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以,
所以當(dāng)時(shí)，即 ;             4分
（Ⅱ）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值是3，則                    ..5分
（ⅰ）當(dāng)，時(shí)，．在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿足最小值是3,           6分
（ⅱ）當(dāng)，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，也不滿足最小值是3,            7分
（ⅲ）當(dāng)，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．
所以，解得（舍去）.       8分
（ⅳ）當(dāng)時(shí)，則
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)．
所以，解得.
綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值3.            10分
考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.