Question

設函數f（x）是定義在區間（-∞，+∞）上以2為周期的函數，記I_k=（2k-1，2k+1]（k∈Z）．已知x∈I_°時，f（x）=x²，如圖．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）對于k∈N^*，求集合M_k={a|使方程f（x）=ax在I_k上有兩個不相等的實數根}．

Answer 1

分析：（1）利用函數的周期性求函數的表達式．（2）將方程f（x）=ax轉化為二次函數，利用二次函數根的分布求a的取值集合．

解答：解：（1）因為f（x）是定義在區間（-∞，+∞）上以2為周期的函數，所以f（x）=f（x-2k），
當x∈I_k 時，（x-2k）∈I₀，所以f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²．
所以函數f（x）的解析式為f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²，x∈I_k．
（2）當k∈N^*，且x∈I_k 時，方程f（x）=ax化簡為x²-（4k+a）x+k²=0，
設g（x）=x²-（4k+a）x+k²，使方程f（x）=ax在I_k上有兩個不相等的實數根，
則

△=a(a+8k)＞0 2k-1＜ 4k+a 2 ≤2k+1 g(2k-1)=1-2ak+a＞0 g(2k+1)=1-2ak-a≥0

，即

a＞0??或a＜-8k -1＜a≤1 0＜a＜ 1 2k-1 0＜a≤ 1 2k+1

，解得0＜a≤

1

2k+1

，
所以M_k={a|0＜a≤

1

2k+1

}．

點評：本題主要考查函數周期性的應用，以及二次方程根的分布問題，考查學生的轉化能力，綜合性較強．