Question

設函數f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的偶函數，當x∈[-1，0）時，f（x）=x³-ax（a∈R）．
（1）當x∈（0，1]時，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，試判斷f（x）在（0，1]上的單調性，并證明你的結論；
（3）是否存在a，使得當x∈（0，1]時，f（x）有最大值1？

Answer 1

分析：（1）先由函數是偶函數得f（-x）=f（x），然后將所求區間利用運算轉化到已知區間上，代入到[-1，0）時，f（x）=x³-ax即可求出在（0，1]上，函數的解析式．
（2）先求導函數，然后利用導數的符號確定函數f（x）在（0，1]上的單調性；
（3）討論a，分別利用導數研究函數在（0，1]上的最值，然后建立等式關系，解之即可．

解答：解：（I）設x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），
f(-x)=-x3+ax，f(x)為偶函數，f(x)=-x3+ax

x∈(0，1]．

----------（3分）
（II）f'（x）=-3x²+a，∵x∈（0，1]⇒3x²∈[-3，0），
又a＞3，∴a-3x²＞0，即f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上為增函數．-------------------7 分
（III）當a＞3時，f（x）在（0，1]上是增函數，f_max（x）=f（1）=a-1=1⇒a=2．
（不合題意，舍去）---8 分
當0≤a≤3時，f′(x)=a-3x2，令f′(x)=0，x=

a 3

．如下表：

x	(0， a 3 )	a 3	( a 3 ，1)
f'（x）	+	0	-
f（x）		最大值

∴f(x)在x=

a 3

處取最大值-(

a 3

)3+a

a 3

=1，⇒a=

3	27 4

＜3⇒x=

a 3

＜1．------（10分）
當a＜0時，f'（x）=a-3x²＜0，f（x）在（0，1]上單調遞減，f（x）在（0，1]無最大值．
∴存在a=

3	27 4

，使f(x)在(0，1]上有最大值1．--------------------------（12分）

點評：本題主要考查了解析式的求解以及函數的單調性，同時考查了利用導數研究閉區間上的最值，屬于中檔題．