Question

【題目】已知拋物線的焦點為，是上一點，且．

（1）求的方程；

（2）過點的直線與拋物線相交于兩點，分別過點兩點作拋物線的切線，兩條切線相交于點，點關于直線的對稱點，判斷四邊形是否存在外接圓，如果存在，求出外接圓面積的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由是上一點，可以得到一個等式；由拋物線的定義，結合，又得到一個等式，二個等式組成一個方程組，解這個方程組，這樣就可以求出拋物線的方程；

（2）設出直線方程為，與拋物線方程聯立，設點，利用根與系數的關系可以求出，利用弦長公式可以求出的長，利用導數求出兩條切線的斜率，可以證明出，的外接圓的圓心為線段的中點，線段是圓的直徑，即可證明四邊形存在外接圓，根據長度的表達式，可以求出外接圓面積的最小值.

（1）解：根據題意知，①

因為，所以②

聯立①②解得．

所以拋物線的方程為．

（2）四邊形存在外接圓．

設直線方程為，代入中，得，

設點，則，

且

所以，

因為，即，所以．

因此，切線的斜率為，切線的斜率為，

由于，所以，即是直角三角形，

所以的外接圓的圓心為線段的中點，線段是圓的直徑，

所以點一定在的外接圓上，即四邊形存在外接圓．

又因為，所以當時，線段最短，最短長度為4，

此時圓的面積最小，最小面積為．