Question

設有拋物線C：y=-x²+

9

2

x-4，通過原點O作C的切線y=kx，使切點P在第一象限．
（1）求k的值；
（2）過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）切線與拋物線僅一個交點，方程組有唯一解，判別式等于0．
（2）點斜式寫出垂線方程，代入拋物線方程，求交點Q的坐標．

解答：解：（1）設點P的坐標為（x₁，y₁），則y₁=kx₁①
y₁=-x₁²+

9

2

x₁-4②
①代入②得x₁²+（k-

9

2

）x₁+4=0．
∵P為切點，
∴△=（k-

9

2

）²-16=0得k=

17

2

或k=

1

2

．
當k=

17

2

時，x₁=-2，y₁=-17．
當k=

1

2

時，x₁=2，y₁=1．
∵P在第一象限，∴所求的斜率k=

1

2

．
（2）過P點作切線的垂線，其方程為y=-2x+5③
將③代入拋物線方程得x²-

13

2

x+9=0．
設Q點的坐標為（x₂，y₂）．則x₂+2=

13

2

∴x₂=

9

2

，y₂=-4，∴Q（

9

2

，-4）

點評：本題屬于運用直線與圓錐曲線的位置關系求直線方程和交點坐標問題．