Question

設有拋物線C：y=-x²+

9

2

x-4，通過原點O作C的切線y=mx，使切點P在第一象限．
（1）求m的值，以及P的坐標；
（2）過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q；
（3）設C上有一點R，其橫坐標為t，為使DOPQ的面積小于DPQR的面積，試求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出P的坐標，代入直線和拋物線方程，聯立求得k，利用P在的象限判斷出P的坐標和所求的斜率．
（2）過P點作切線的垂線，其方程為：y=-2x+5，代入拋物線方程，設Q點的坐標把直線與拋物線的方程聯立求得x₂，則y₂可得，即求得Q的坐標．
（3）先設出C上的一點R，利用點到直線的距離求得其到直線PQ的距離的表達式，根據DOPQ的面積小于DPQR的面積，S_DOPQ＜S_DPQR，判斷出OP＜d獲得不等式求得t的范圍．

解答：解：（1）設點P的坐標為（x₁，y₁），則y₁=kx₁①，y₁=-x₁²+

9

2

x₁-4②，
①代入②，得：x₁²+（k-

9

2

）x₁+4=0
因為點P為切點，所以（k-

9

2

）²-16=0，得：k=

17

2

或k=

1

2

當k=

17

2

時x₁=-2，y₁=-17；當k=

1

2

時，x₁=2，y₁=1；
因為點P在第一象限，故所求的斜率k=

1

2

，P的坐標為（2，1），
（2）過P點作切線的垂線，其方程為：y=-2x+5③，代入拋物線方程，得：
x²-

13

2

x+9=0，設Q點的坐標為（x₂，y₂），則2x₂=9，所以x₂=

9

2

，y₂=-4，
所以Q點的坐標為（

9

2

，-4）
（3）設C上有一點R（t，-t²+

9

2

t-4），它到直線PQ的距離為：
d=

|2t+(-t2+ 9 2 t-4)-5|

5

=

|t2- 13 2 t+9|

5

點O到直線PQ的距離PO=

5

，S_DOPQ=

1

2

?PQ?OP，S_DPQR=

1

2

?PQ?d，
因為DOPQ的面積小于DPQR的面積，SD_OPQ＜SD_PQR，
即：OP＜d，即：|t2-

13

2

t+9|＞5，
t2-

13

2

t+4＞0或t2-

13

2

t+14＜0
解之得：t＜

13- 105

4

或t＞

13+ 105

4

所以t的取值范圍為t＜

13- 105

4

或t＞

13+ 105

4

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合．考查了學生分析問題和基礎知識的熟練掌握．