Question

設有拋物線C：y=-x²+x-4，通過原點O作C的切線y=mx，使切點P在第一象限．
（1）求m的值，以及P的坐標；
（2）過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q；
（3）設C上有一點R，其橫坐標為t，為使DOPQ的面積小于DPQR的面積，試求t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設點P的坐標為（x₁，y₁），則y₁=kx₁①，y₁=-x₁²+x₁-4②，
①代入②，得：x₁²+（k-）x₁+4=0
因為點P為切點，所以（k-）²-16=0，得：k=或k=
當k=時x₁=-2，y₁=-17；當k=時，x₁=2，y₁=1；
因為點P在第一象限，故所求的斜率k=，P的坐標為（2，1），
（2）過P點作切線的垂線，其方程為：y=-2x+5③，代入拋物線方程，得：
x²-x+9=0，設Q點的坐標為（x₂，y₂），則2x₂=9，所以x₂=，y₂=-4，
所以Q點的坐標為（，-4）
（3）設C上有一點R（t，-t²+t-4），它到直線PQ的距離為：
d=
點O到直線PQ的距離PO=，S_DOPQ=?PQ?OP，S_DPQR=?PQ?d，
因為DOPQ的面積小于DPQR的面積，SD_OPQ＜SD_PQR，
即：OP＜d，即：＞5，
+4＞0或+14＜0
解之得：t＜或t＞
所以t的取值范圍為t＜或t＞．
分析：（1）設出P的坐標，代入直線和拋物線方程，聯立求得k，利用P在的象限判斷出P的坐標和所求的斜率．
（2）過P點作切線的垂線，其方程為：y=-2x+5，代入拋物線方程，設Q點的坐標把直線與拋物線的方程聯立求得x₂，則y₂可得，即求得Q的坐標．
（3）先設出C上的一點R，利用點到直線的距離求得其到直線PQ的距離的表達式，根據DOPQ的面積小于DPQR的面積，S_DOPQ＜S_DPQR，判斷出OP＜d獲得不等式求得t的范圍．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合．考查了學生分析問題和基礎知識的熟練掌握．