Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，，求證：．

Answer 1

【答案】(1) 見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由f（x）含有參數(shù)a，單調(diào)性和a的取值有關(guān)，通過(guò)分類(lèi)討論說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到結(jié)論；

（2）法一：將已知變形，對(duì)a分類(lèi)討論研究的正負(fù)，當(dāng)與時(shí)，通過(guò)單調(diào)性可直接說(shuō)明，當(dāng)時(shí)，可得g（x）的最大值為,利用導(dǎo)數(shù)解得結(jié)論．

法二：分析時(shí)，且使得已知不成立；當(dāng)時(shí)，利用分離變量法求解證明.

（1），

①當(dāng)時(shí)，由得，得，所以在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，由得，解得，

所以在上單調(diào)遞增，在在上單調(diào)遞減；

（2）法一：由得（*），

設(shè)，則，

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

，可知且時(shí)，

，，可知（*）式不成立；

②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，

，可知（*）式成立；

③當(dāng)時(shí)，由得，

所以在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞減，

所以，由（*）式得，

設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，而，h（1）=1-2=-1<0，

所以存在t，使得h（t）=0，由得；

綜上所述，可知．

法二：由得 （*），

①當(dāng)時(shí)，得，且時(shí)，

，可知（*）式不成立；

②當(dāng)時(shí)，由（*）式得，即，

設(shè)，則，

設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，

又，，所以， （**），

當(dāng)時(shí)， ，得，所以在上遞增，

同理可知在上遞減，所以，

結(jié)合（**）式得，所以，

綜上所述，可知．