Question

【題目】如圖,在三棱柱中,側面底面ABC, ,且,O為AC中點.

(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)在上是否存在一點E,使得平面,若不存在,說明理由;若存在,確定點E的位置.

Answer 1

【答案】（1）.；（2）E為的中點.

【解析】

(1)由已知中,O為AC中點,根據等腰三角形“三線合一”的性質,可得,又由已知中側面底面ABC,故平面ABC,以O為原點,OB,OC,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,分別求出直線的方向向量與平面的法向量,代入空間向量夾角公式,即可得到直線與平面所成角的正弦值;
(2)設出E點的坐標,根據平面,則OE的方向向量與平面的法向量垂直,數量積為零,我們可以求出E點坐標,進而確定E點的位置.

（1）如圖，因為，且O為AC的中點，所以平面平面，交線為，且平面，所以平面.

以O為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.由題意可知，又

所以得:

則有：

設平面的一個法向量為，則有

，

令，得

所以.

因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余，

所以.

（2）設

即，得

所以得

令平面，得，

即得即存在這樣的點E，E為的中點.