Question

點M是曲線C上任意一點，它到F（4，0）的距離比它到直線x+2=0的距離大2，且P（2m，m）（m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在曲線C上．
（1）寫出該曲線C的方程及 m的值；
（2）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y₁+y₂的值及直線AB的斜率．

Answer 1

分析：（1）由題意，根據圓錐曲線的定義可知曲線C為以F為焦點的拋物線，從而可求其方程，把點P代入方程可得m；
（2）由（1）知P（64，32），由PA，PB傾斜角互補且斜率存在，得k_PA+k_PB=0，代入斜率公式后轉化縱坐標的方程可求y₁+y₂，再由斜率公式可求AB斜率；

解答：解：（1）由題意：M是曲線C上任意一點，它到F（4，0）的距離比它到直線x+2=0的距離大2，
因此，它到F（4，0）的距離等于它到直線x+4=0的距離，
根據圓錐曲線的定義可知，曲線C為拋物線，且以F（4，0）為其焦點，
設y²=2px，

p

2

=4，2p=16，
∴曲線C的方程為y²=16x，
又P（2m，m）在曲線C上，∴m²=32m，解得m=32；
（2）由（1）知P（64，32），
∵PA，PB傾斜角互補且斜率存在，∴k_PA+k_PB=0，
則

y1-32

x1-64

+

y2-32

x2-64

=0，得

y1-32

y12 16 -64

+

y2-64

y22 16 -64

=0，即

16

y1+32

+

16

y2+32

=0，
∴y₂+32+y₁+32=0，∴y₁+y₂=-64，
kAB=

y2-y1

x2-y1

=

y2-y1

y22 16 - y12 16

=

16

y1+y2

=

16

-64

=-

1

4

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、直線的斜率公式，考查學生分析解決問題的能力，有一定運算量．