Question

如圖，已知動圓M過定點F（1，0）且與x軸相切，點F關于圓心M的對稱點為F′，
動點F′的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設A（x，y）是曲線C上的一個定點，過點A任意作兩條傾斜角互補的直線，分別與曲線C相交于另外兩點P、Q．
①證明：直線PQ的斜率為定值；
②記曲線C位于P、Q兩點之間的那一段為l．若點B在l上，且點B到直線PQ的距離最大，求點B的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設F′（x，y），則可得M（），圓M的直徑為|FF′|=，利用動圓M與x軸相切，即可求得曲線C的方程；
（2）①確定A（x，），設P（x₁，），Q（x₂，），利用直線AP，AQ的傾斜角互補，可得它們的斜率互為相反數，從而可得直線PQ的斜率；
②由①可知，k_PQ=-，則若點B在曲線段L上，且點B到直線PQ的距離最大，曲線C在點B處的切線l∥PQ，設直線的方程，代入拋物線方程，利用判別式，即可求得結論．
解答：（1）解：設F′（x，y），因為點F（1，0）在圓M上，且點F關于圓心M的對稱點為F′，
所以M（），…（1分）
且圓M的直徑為|FF′|=．…（2分）
由題意，動圓M與x軸相切，所以=，兩邊平方整理得：x²=4y，
所以曲線C的方程為x²=4y．             …（5分）
（2）①證明：因為A（x，y）是曲線C：x²=4y上的點，所以y=，∴A（x，）．
又點P、Q在曲線C：x²=4y上，所以可設P（x₁，），Q（x₂，），…（6分）
而直線AP，AQ的傾斜角互補，所以它們的斜率互為相反數，
即=，整理得x₁+x₂=-2x．   …（8分）
所以直線PQ的斜率k_PQ===-為定值．      …（10分）
②解：由①可知，k_PQ=-，則若點B在曲線段L上，且點B到直線PQ的距離最大，
∴曲線C在點B處的切線l∥PQ． …（11分）
設l：y=，代入拋物線方程，消去y，得x²+2xx-4b=0．
令△=（2x）²-4×1×（-4b）=0，整理得b=-．…（12分）
代入方程組，解得x=-x，y=．
所以，點B的坐標是（-x，）． …（14分）
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查直線的斜率，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．