Question

【題目】對于定義域分別是A，B的函數， ，規定：

現給定函數

(1) 若，寫出函數的解析式；

(2) 當時，求問題(1)中函數的值域；

(3) 請設計一個函數，使得函數為偶函數且不是常數函數，并予以證明.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）， 為奇函數，函數為偶函數且不是常數函數，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求出的定義域，然后根據題意給出的解析式（2）根據（1）中的解析式，求復合函數的值域，先求復合部分的值域，然后再求值域（3）設計一個函數，根據題意給出證明過程

解析：(1)因為的定義域為R， 的定義域為 所以；

（2）時， ；

時， ，

令，

因為，所以，所以，所以，

綜上所述，當時， ；

（3），此時為奇函數，函數為偶函數且不是常數函數.

證明如下： ，所以為奇函數；

又因為的定義域為R， 的定義域為R.

所以，

所以時，函數為偶函數且不是常數函數.