Question

(本小題滿分16分)已知數列是以為公差的等差數列，數列是以為公比的等比數列．（Ⅰ）若數列的前項和為,且,,求整數的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試問數列中是否存在一項，使得恰好可以表示為該數列中連續項的和？請說明理由；（Ⅲ）若（其中，且（）是（）的約數），求證：數列中每一項都是數列中的項.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) 不存在 （Ⅲ）見解析

（Ⅰ）由題意知，，所以由，
得……3分
解得，又為整數，所以………………………………………………………5分
（Ⅱ）假設數列中存在一項，滿足，
因為，∴（*）…………8分
又
=，所以，此與（*）式矛盾. 所以，這要的項不存在……11分
（Ⅲ）由，得，則 ………………12分
又，
從而，因為，所以，又，
故. 又,且（）是（）的約數,所以是整數,且………14分
對于數列中任一項（這里只要討論的情形），有

，
由于是正整數，所以一定是數列的項……………16分