Question

【題目】已知函數.

（1）若，求的零點個數；

（2）若，，證明：，.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導得，在定義域內討論函數單調性，再由函數的最小值正負來判斷它的零點個數；（2）把a的值代入f(x)，將整理化簡為，即證明該不等式在上恒成立，構造新的函數，利用導數可知其在定義域上的最小值，構造函數，由導數可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證。

（1）解：因為，所以.

令，得或；令，得，

所以在，上單調遞增，在上單調遞減，

而，，，

所以的零點個數為1.

（2）證明：因為，從而.

又因為，

所以要證，恒成立，

即證，恒成立，

即證，恒成立.

設，則，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

所以.

設，則，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

所以，所以，

所以，恒成立，

即，.