Question

【題目】如圖， 是邊長為的菱形， ， 平面， 平面， .

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）連接，根據菱形的性質可知，結合，可得平面，垂直同一個平面的兩條直線平行，故四點共面，故.（2）以為坐標原點，分別以， 的方向為軸， 軸的正方向，建立空間直角坐標系.計算直線的方向向量和平面的法向量，利用線面角公式求得線面角的正弦值.

試題解析：

（Ⅰ）證明：連接，

因為是菱形，所以.

因為平面， 平面，

所以.

因為，所以平面.

因為平面， 平面，所以.

所以， ， ， 四點共面.

因為平面，所以.

（Ⅱ）如圖，以為坐標原點，分別以， 的方向為軸， 軸的正方向，建立空間直角坐標系.

可以求得， ， ， ， .

所以， .

設平面的法向量為，

則即

不妨取，則平面的一個法向量為.

因為，

所以 .

所以直線與平面所成角的正弦值為.