Question

【題目】如圖，ABCD為矩形，點A、E、B、F共面，和均為等腰直角三角形，且若平面⊥平面

（Ⅰ）證明:平面平面ADF

（Ⅱ）問在線段EC上是否存在一點G，使得BG∥平面若存在，求出此時三棱錐G一ABE與三棱錐的體積之比，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在，體積比為.

【解析】

(1)由題意得：由ABCD為矩形可得到BC⊥AB，再由平面⊥平面可得到BC⊥AF，所以AF⊥平面BCF，再根據面面垂直的判斷定理可得到平面平面ADF；

(2)通過已知條件可得到平面BCE∥平面ADF，延長EB到點H，使得BH =AF，得到ABHF是平行四邊形，從而可得到HFDC是平行四邊形，即有CH∥DF.，過點B作CH的平行線，交EC于點G，此點G為所求的G點即存在，由EG=和，可得到即；

（Ⅰ）∵ABCD為矩形，∴BC⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF=AB，

∴BC⊥平面AEBF，

又∵AF平面AEBF，∴BC⊥AF，

∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC、BF平面BCF，BC∩BF=B，

∴AF⊥平面BCF，

又∵AF平面ADF，∴平面ADF平面BCF.

（Ⅱ）∵BC∥AD，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.

∵和均為等腰直角三角形，且90°，

∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF平面ADF，∴BE∥平面ADF，

∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF.

延長EB到點H，使得BH =AF，又BC AD，連CH、HF，易證ABHF是平行四邊形，

∴HFABCD，∴HFDC是平行四邊形，∴CH∥DF.

過點B作CH的平行線，交EC于點G，即BG∥CH∥DF，（DF平面CDF）

∴BG∥平面CDF，即此點G為所求的G點，

如圖：

又BE=，∴EG=，又，

，

所以