Question

如圖所示的三棱錐A-BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2，∠BAC=120°，若點(diǎn)P為△ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足直線DP與平面ABC所成角的正切值為2，則點(diǎn)P在△ABC內(nèi)所成的軌跡的長度為              

Answer 1

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解析試題分析：因?yàn)椤螧AD=90°，所以AD⊥AB,又AD⊥BC，且ABBC=B，所以AD⊥平面ABC。
在平面ABC內(nèi)，取點(diǎn)P，連PA，則是DP與平面ABC所成角。
又因?yàn)锳D=4，所以直線DP與平面ABC所成角的正切值為2，須AP=2，即點(diǎn)P在△ABC內(nèi)所成的軌跡是以A為圓心，半徑為2 的圓的一部分。
而∠BAC=120°=，故點(diǎn)P在△ABC內(nèi)所成的軌跡的長度為=。
考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算，圓的定義，扇形弧長公式。
點(diǎn)評(píng)：典型題，綜合性較強(qiáng)，考查知識(shí)全面，可謂之是“證算并重題”，較好地考查了數(shù)形結(jié)合思想及學(xué)生的邏輯推理能力、計(jì)算能力。解答本題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)到“點(diǎn)P在△ABC內(nèi)所成的軌跡是以A為圓心，半徑為2 的圓的一部分。”