Question

在直角坐標系內，△ABC的兩個頂點C、A的坐標分別為（-，三個內角A、B、C滿足2sinB=．
（1）求頂點B的軌跡方程；
（2）過點C做傾斜角為θ的直線與頂點B的軌跡交于P、Q兩點，當θ∈（0，時，求△APQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由2sinB=，根據正弦定理得2b=，結合b=2，可得a+c=4由橢圓定義知頂點B的軌跡為橢圓，可求
（2）設PQ方程為y=tanθ（x+）聯立直線與橢圓方程，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據方程的根與系數關系可求得x₁+x₁，x₁x₂，然后可求|PQ|及點A到PQ的距離d，代入可求△ABC的面積，由基本不等式可求最大值
解答：解：（1）因為2sinB=，根據正弦定理得2b=
又b=2，所以a+c=4由橢圓定義知頂點B的軌跡為橢圓，其方程為
（2）設PQ方程為y=tanθ（x+），θ∈（0，
由得（1+4tan²θ）x²+8xtan²θ+12tan²θ-4=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=，
又|PQ|=，點A到PQ的距離d=，θ∈（0，
S_△ABC=≤2
當且僅當時取等號，△APQ的最大面積為2．
點評：本題主要考查了由三角形的正弦定理求解點的軌跡方程，直線與曲線相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，屬于綜合試題