Question

在直角坐標系內，△ABC的兩個頂點C、A的坐標分別為（-

3

，0)，(

3

，0)，三個內角A、B、C滿足2sinB=

3

(sinA+sinC)．
（1）求頂點B的軌跡方程；
（2）過點C做傾斜角為θ的直線與頂點B的軌跡交于P、Q兩點，當θ∈（0，

π

2

)時，求△APQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由2sinB=

3

(sinA+sinC)，根據正弦定理得2b=

3

(a+c)，結合b=2

3

，可得a+c=4由橢圓定義知頂點B的軌跡為橢圓，可求
（2）設PQ方程為y=tanθ（x+

3

）聯立直線與橢圓方程，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據方程的根與系數關系可求得x₁+x₁，x₁x₂，然后可求|PQ|及點A到PQ的距離d，代入可求△ABC的面積，由基本不等式可求最大值

解答：解：（1）因為2sinB=

3

(sinA+sinC)，根據正弦定理得2b=

3

(a+c)
又b=2

3

，所以a+c=4由橢圓定義知頂點B的軌跡為橢圓，其方程為

x2

4

+y2=1(y≠0)
（2）設PQ方程為y=tanθ（x+

3

），θ∈（0，

π

2

)
由

y=tanθ(x+ 3 ) x2 4 +y2=1

得（1+4tan²θ）x²+8

3

xtan²θ+12tan²θ-4=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-8 3 tan2θ

1+4tan2θ

，x1•x2=

12tan2θ-4

1+4tan2θ

，
又|PQ|=

4(1+tan2θ)

1+4tan2θ

，點A到PQ的距離d=

|2 3 tanθ|

1+tan2θ

，θ∈（0，

π

2

)
S_△ABC=

4 3 tanθ•secθ

1+4tan2θ

=

4 3 sinθ

1+3sin2θ

=

4 3

1 sinθ +3sinθ

≤2
當且僅當

1

sinθ

=3sinθ，即θ=arcsin

3

3

時取等號，△APQ的最大面積為2．

點評：本題主要考查了由三角形的正弦定理求解點的軌跡方程，直線與曲線相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，屬于綜合試題