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在直角坐標系內，O為坐標原點，向量

=(1，4)，

=(5，10)，

=(2，k)．
（1）若點A、B、C能構成三角形，且∠B為直角，求實數k的值；
（2）若點A、B、C能構成以AB為底邊的等腰三角形，求∠ACB的余弦值．

分析：（1）

=(-3，k-10)，

=(-4，-6)，利用

•

=12-6(k-10)=0，能求出k的值．
（2）由

=(-1，4-k)，點A、B、C能構成以AB為底邊的等腰三角形，知9+（k-10）²=1+（4-k）²，由此求出k=

，能夠推導出∠ACB的余弦值．

解答：解：（1）∵

=(-3，k-10)，

=(-4，-6)；
∴

•

=12-6(k-10)=0，
∴k=12．
（2）

=(-1，4-k)
∵點A、B、C能構成以AB為底邊的等腰三角形，
∴|

|=|

|，即9+（k-10）²=1+（4-k）²
∴k=

，
∴

=(-1，-

)，

=(3，

)，
∴cos∠ACB=

•

|•|

104

130

．

點評：本題考查實數k的求法和求∠ACB的余弦值．是基礎題，解題時要認真審題，仔細解答，注意平面向量垂直的條件的靈活運用．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
21-1．（選修4-2：矩陣與變換）
設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（2）求逆矩陣M^-1以及橢圓

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．
21-2．（選修4-4：參數方程）
以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標為（1，-5），點M的極坐標為（4，

），若直線l過點P，且傾斜角為

，圓C以M為圓心、4為半徑．
（1）求直線l關于t的參數方程和圓C的極坐標方程；
（2）試判定直線l和圓C的位置關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對應的一個特征向量α1=

，特征值λ₂=-1及其對應的一個特征向量α2=

-1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，

)，直線l過點A且傾斜角為

，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c，d都是正數，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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