Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex﹣ax，其中a為正實數，若f（x）在（1，+∞）上無最小值，且g（x）在（1，+∞）上是單調遞增函數，則實數a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】[1，e]
【解析】解：∵f（x）=ax﹣lnx，（x＞0），
f′（x）=a﹣ = ，
若f（x）在（1，+∞）上無最小值，
則f（x）在（1，+∞）單調，
∴f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，
或f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥ ，或a≤ ，而函數y= 在（1，+∞）上單調減，
∴x=1時，函數y取得最大值1，
∴a≥1或a≤0，而a為正實數，
故a≥1①，
又∵g（x）=ex﹣ax，
∴g′（x）=ex﹣a，
∵函數g（x）=ex﹣ax在區間（1，+∞）上單調遞增，
∴函數g′（x）=ex﹣a≥0在區間（1，+∞）上恒成立，
∴a≤[ex]min在區間（1，+∞）上成立．
而ex＞e，
∴a≤e②；
綜合①②，a∈[1，e]，
所以答案是：[1，e]．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．