Question

根據拋物線的光學原理：一水平光線射到拋物線上一點，經拋物線反射后，反射光線必過焦點．然后求解此題：拋物線y²=4x上有兩個定點A、B分別在對稱軸的上、下兩側，一水平光線射到A點后，反射光線會平行y軸，一水平光線射到B點后，反射光線所在直線的斜率為 ．
（Ⅰ）求直線AB的方程．
（Ⅱ）在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，并求這個最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得焦點F（1，0），且FA⊥x軸，所以A （1，2），同理得到B（4，-4），由此能求出直線AB的方程．
（2）法一：設在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x，y），且1≤x≤4，-4≤y≤2．由點P到直線AB的距離d=，由此得到△PAB的面積最大值和此時P點坐標．
法二：，由此得到△PAB的面積最大值和此時P點坐標．
解答：解：（1）由已知得焦點F（1，0），
且FA⊥x軸，
∴A （1，2），
同理，
得到B（4，-4），
所以直線AB的方程為2x+y-4=0．（6分）
（2）法一：設在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x，y），
且1≤x≤4，-4≤y≤2．
則點P到直線AB的距離d=，
所以當y=-1時，d取最大值，
又（10分）
所以△PAB的面積最大值為，
此時P點坐標為．（12分）
法二：，
∴，
∴△PAB的面積最大值為，
此時P點坐標為．
點評：本題考查直線方程的求法和求△PAB的最大面積．綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．