Question

根據拋物線的光學原理：一水平光線射到拋物線上一點，經拋物線反射后，反射光線必過焦點．然后求解此題：拋物線y²=4x上有兩個定點A、B分別在對稱軸的上、下兩側，一水平光線射到A點后，反射光線會平行y軸，一水平光線射到B點后，反射光線所在直線的斜率為 -

4

3

．
（Ⅰ）求直線AB的方程．
（Ⅱ）在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，并求這個最大面積．

Answer 1

分析：（1）由已知得焦點F（1，0），且FA⊥x軸，所以A （1，2），同理得到B（4，-4），由此能求出直線AB的方程．
（2）法一：設在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x₀，y₀），且1≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．由點P到直線AB的距離d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y 2 0 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

，由此得到△PAB的面積最大值和此時P點坐標．
法二：由

2x+y+m=0 y2=4x

⇒y2+2y+2m=0⇒△=4-8m=0⇒m=

1

2

，由此得到△PAB的面積最大值和此時P點坐標．

解答：解：（1）由已知得焦點F（1，0），
且FA⊥x軸，
∴A （1，2），
同理kFB=-

4

3

，
得到B（4，-4），
所以直線AB的方程為2x+y-4=0．（6分）
（2）法一：設在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x₀，y₀），
且1≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
則點P到直線AB的距離d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y 2 0 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

，
所以當y₀=-1時，d取最大值

9 5

10

，
又|AB|=3

5

（10分）
所以△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27，
此時P點坐標為(

1

4

，-1)．（12分）
法二：由

2x+y+m=0 y2=4x

⇒y2+2y+2m=0⇒△=4-8m=0⇒m=

1

2

，
∴dmax=

| 1 2 -(-4)|

5

=

9 5

10

，
∴△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27，
此時P點坐標為(

1

4

，-1)．

點評：本題考查直線方程的求法和求△PAB的最大面積．綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．