Question

根據拋物線的光學原理：一水平光線射到拋物線上一點，經拋物線反射后，反射光線必過焦點．然后求解此題：拋物線y²=4x上有兩個定點A、B分別在對稱軸的上、下兩側，一水平光線射到A點后，反射光線會平行y軸，一水平光線射到B點后，反射光線所在直線的斜率為 -

4

3

．
（Ⅰ）求直線AB的方程．
（Ⅱ）在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，并求這個最大面積．

Answer 1

（1）由已知得焦點F（1，0），
且FA⊥x軸，
∴A （1，2），
同理kFB=-

4

3

，
得到B（4，-4），
所以直線AB的方程為2x+y-4=0．（6分）
（2）法一：設在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x₀，y₀），
且1≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
則點P到直線AB的距離d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y 20 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

，
所以當y₀=-1時，d取最大值

9 5

10

，
又|AB|=3

5

（10分）
所以△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27，
此時P點坐標為(

1

4

，-1)．（12分）
法二：由

2x+y+m=0 y2=4x

?y2+2y+2m=0?△=4-8m=0?m=

1

2

，
∴dmax=

| 1 2 -(-4)|

5

=

9 5

10

，
∴△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27，
此時P點坐標為(

1

4

，-1)．