Question

【題目】在空間中，過點(diǎn)A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ（A）．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，對空間任意一點(diǎn)P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，則（　　）

A．平面α與平面β垂直

B．平面α與平面β所成的（銳）二面角為45°

C．平面α與平面β平行

D．平面α與平面β所成的（銳）二面角為60°

Answer 1

【答案】A

【解析】設(shè)P1=fα（P），則根據(jù)題意，得點(diǎn)P1是過點(diǎn)P作平面α垂線的垂足

∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），

∴點(diǎn)Q1是過點(diǎn)P1作平面β垂線的垂足

同理，若P2=fβ（P），得點(diǎn)P2是過點(diǎn)P作平面β垂線的垂足

因此Q2=fα[fβ（P）]表示點(diǎn)Q2是過點(diǎn)P2作平面α垂線的垂足

∵對任意的點(diǎn)P，恒有PQ1=PQ2，

∴點(diǎn)Q1與Q2重合于同一點(diǎn)

由此可得，四邊形PP1Q1P2為矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角

∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α與平面β垂直

故選：A