Question

（1）求過點A（2，0）且與⊙B：（x+2）²+y²=36內切的圓的圓心的軌跡方程．
（2）設點P是（1）題中的軌跡上的動點，已知定點D（1，1），求|PD|+

3

2

|PA|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，先得到圓B的圓心為B（-2，0），半徑為6，設動圓圓心為M（x，y），切⊙B于點C，由內切兩圓的性質，結合圓M的半徑進行等量代換，可推出動點M到兩個定點A、B的距離之和為定值6，得到所求軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓，再根據題中所給數據得到它的方程．
（2）先用圓錐曲線的統一定義，表示出P到右焦點與右準線距離的關系，求得

3

2

|PA|等于點P到右準線的距離|PN|，再結合平面幾何垂線段最短的原理，進而推斷出|PD|+

3

2

|PA|最小值為點D到右準線的距離，不難求得此時的距離最小值．

解答：解：（1）∵圓的方程為⊙B：（x+2）²+y²=36
∴圓心為B（-2，0），半徑r=6．
設動圓圓心為M（x，y），切點為C，依題意，
∵動圓與⊙B：（x+2）²+y²=36內切
∴|BC|-|MC|=|BM|，而|BC|=6，
∴|BM|+|CM|=6．
又∵點A和C都在圓M上
∴|CM|=|AM|，可得|BM|+|AM|=6．
所以，M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，其中2a=6，得a=3，
而c=2，所以b²=a²-c²=5，橢圓方程為：

x2

9

+

y2

5

=1；
（2）根據題意，定點D（1，1）在橢圓

x2

9

+

y2

5

=1內，連接PD，過P點作PN⊥l（l為右準線）于N點，
右準線方程為：x=

a2

c

，即x=

9

2

．
由圓錐曲線的統一定義可知，

|PA|

|PN|

=e=

2

3

，⇒

3

2

|PA|=|PN|．…（8分）
過點D作DG⊥l于G 點，交橢圓于Q點．
由平面幾何知識，可得|PD|+

3

2

|PA|=|PD|+|PN|≥|DQ|+|QG|=|DG|=

9

2

-1=

7

2

∴|PD|+

3

2

|PA|的最小值為

7

2

．…（13分）

點評：本題借助一個特殊的軌跡為例，主要考查了橢圓的定義和簡單幾何性質，以及圓錐曲線的統一定義，考查了考生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．