Question

已知⊙C：（x-2）²+（y-2）²=2．
（1）求過點A（2-，0）的⊙C的切線方程；
（2）從點B（-3，3）發出的光線l經x軸反射，其反射光線被⊙C所截得的弦長為2，求入射光線l所在的直線方程．

Answer 1

解：（1）當斜率不存在時，有，圓心到直線的距離為，符合題意；-----------（2分）
當斜率存在時，設切線方程為，
即，
由圓心到切線的距離等于半徑得：，，---------------（4分）
得，所以，
綜上：所求切線方程為或．-----（7分）
（2）由題意，⊙C關于x軸對稱的圓C₁方程為（x-2）²+（y+2）²=2，----------（9分）
設過B與圓C₁相交且截得的弦長為2的直線l方程為y-3=k（x+3），
即kx-y+3+3k=0
由垂徑定理得：，----------（11分）
即
解得：或，---------（13分）
所以l方程為或
所以所求直線方程為3x+4y-3=0或4x+3y+3=0．---------（14分）
分析：（1）首先點A在圓外，故引⊙C的切線共有兩條．斜率不存在時，符合題意；斜率存在時，利用圓心到直線的距離等于半徑，可求切線方程；
（2）根據對稱性，將反射光線被⊙C所截得的弦長為2等價轉化為入射光線被⊙C關于x軸對稱圓所截得的弦長為2，從而可求入射光線l所在的直線方程．
點評：本題的考點是直線和圓的方程的應用，主要考查圓的切線方程，圓的對稱性，關鍵是利用圓的特殊性，利用圓心到直線的距離解決直線和圓的位置關系問題．