Question

已知⊙C：（x-2）²+（y-2）²=2．
（1）求過點A（2-

2

，0）的⊙C的切線方程；
（2）從點B（-3，3）發出的光線l經x軸反射，其反射光線被⊙C所截得的弦長為2，求入射光線l所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）首先點A在圓外，故引⊙C的切線共有兩條．斜率不存在時，符合題意；斜率存在時，利用圓心到直線的距離等于半徑，可求切線方程；
（2）根據對稱性，將反射光線被⊙C所截得的弦長為2等價轉化為入射光線被⊙C關于x軸對稱圓所截得的弦長為2，從而可求入射光線l所在的直線方程．

解答：解：（1）當斜率不存在時，有x=2-

2

，圓心到直線的距離為

2

，符合題意；-----------（2分）
當斜率存在時，設切線方程為y=k[x-(2-

2

)]，
即kx-y-k(2-

2

)=0，
由圓心到切線的距離等于半徑得：

|2k-2-k(2- 2 )|

1+k2

=

2

，|

2

k-2|=

2(k2+1)

，---------------（4分）
得k=

2

4

，所以y=

2

4

[x-(2-

2

)]，
綜上：所求切線方程為

3

x-4y+2-2

2

=0或x=2-

2

．-----（7分）
（2）由題意，⊙C關于x軸對稱的圓C₁方程為（x-2）²+（y+2）²=2，----------（9分）
設過B與圓C₁相交且截得的弦長為2的直線l方程為y-3=k（x+3），
即kx-y+3+3k=0
由垂徑定理得：

|2k+2+3+3k|

1+k2

=1，----------（11分）
即5|k+1|=

k2+1

解得：k=-

3

4

或k=-

4

3

，---------（13分）
所以l方程為y-3=-

3

4

(x+3)或y-3=-

4

3

(x+3)
所以所求直線方程為3x+4y-3=0或4x+3y+3=0．---------（14分）

點評：本題的考點是直線和圓的方程的應用，主要考查圓的切線方程，圓的對稱性，關鍵是利用圓的特殊性，利用圓心到直線的距離解決直線和圓的位置關系問題．