Question

【題目】已知函數g（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x，a∈R．
（1）求g（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）=g（x）+（a+1）x2﹣2x，x1 ， x2（x1＜x2）是函數f（x）的兩個零點，f′（x）是函數f（x）的導函數，證明：f′（ ）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x的定義域為（0，+∞），

f′（x）= ﹣2ax+（2﹣a）=﹣ ，

①當a≤0時，f′（x）＞0，x∈（0，+∞），

則f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

②當a＞0時，x∈（0， ）時，f′（x）＞0，

x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0，

則f（x）在（0， ）上單調遞增，在（ ，+∞）上單調遞減；

（2）解：由x1，x2（x1＜x2）是函數f（x）的兩個零點，

得f（x1）=lnx1+ ﹣ax1=0，f（x2）=lnx2+ ﹣ax2=0，

兩式相減得a= +x1+x2，

∵f′（x）= +2x﹣a，

∴f′（ ）= ﹣ ，

故要證明f′（ ）＜0，

只需證明 ﹣ ＜0，（0＜x1＜x2），

即證明 ＞lnx1﹣lnx2，即證明 ＞ln （*），

令 =t∈（0，1），則h（t）=（1+t）lnt﹣2t+2，

則h′（t）=lnt+ ﹣1，h″（x）= ﹣ ＜0，

故h′（t）在（0，1）遞減，h′（t）＞h′（1）=0，

故h（t）在（0，1）遞增，h（t）＜h（1）=0，

故（*）成立，即f′（ ）＜0．

【解析】（1）先求函數的定義域，求函數的導數，在定義域內討論函數的單調性；（2）求出a= +x1+x2 ， 問題轉化為證明 ＞lnx1﹣lnx2 ， 即證明 ＞ln （*），令 =t∈（0，1），則h（t）=（1+t）lnt﹣2t+2，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．