Question

如圖，在三棱柱中，，頂點在底面上的射影恰為點，．
（1）證明：平面平面；
（2 ）若點為的中點，求出二面角的余弦值．

（1）證明：平面平面；
（2）若點為的中點，求出二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）

試題分析：（1）根據直線與平面垂直的性質可得,而已知，由直線與平面垂直的判定定理可得面，根據平面與平面垂直的判定定理可得平面平面；
(2) 過P做PP₁//A₁B₁交A₁C₁的中點于P₁,由（1）可知P₁A₁,連接P₁B,則為二面角的平面角， 解可得cos的值.
試題解析：證明：（1）由題意得：面，
∴,                2分
又，
∴面，                                  3分
∵面， ∴平面平面；         5分
（2）解法1：以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則

因為P為棱的中點，故易求得．              6分

設平面的法向量為
則得 
令，則              8分
而平面的法向量         9分
則            11分
由圖可知二面角為銳角，
故二面角的平面角的余弦值是 .     12分
解法2：過P做PP₁//A₁B₁交A₁C₁的中點于P₁,由（1）可知P₁A₁,連接P₁B,則為二面角的平面角，               8分
 
在中，，，
故二面角的平面角的余弦值是     12分