Question

【題目】如圖，在四棱錐中， ，，是的中點，是棱上的點，，，，.

（1）求證：平面底面；

（2）設，若二面角的平面角的大小為，試確定的值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)證明：∵，，是的中點，∴，則四邊形為平行四邊形，從而.∵，∴. ……2分

∵，，是的中點，∴.又∵，，∴，即，又，∴平面，∴平面底面.……5分

(2) 解：∵,是的中點,∴.∵平面平面，且平面平面，∴平面.如圖，以為原點建立空間直角坐標系.

則平面的法向量為.，，，.……7分

設，則，，∵，∴，則，即，.在平面中，， ，設平面的法向量為，由，得 ，取，得.∴平面的一個法向量為. …10分

∵二面角的平面角的大小為，∴，解得.……12分.

【命題意圖】本題主要考查空間直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與直線垂直的判定與性質，二面角等基礎知識，考查學生的空間想象能力,推理論證能力,運算求解能力，以及數形結合思想、化歸與轉化思想．