Question

【題目】在四棱柱中，底面為矩形，面⊥平面，===，=2，是的中點．

（Ⅰ）求證：⊥；

（Ⅱ）求BD與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）∵PD=PC，E為CD的中點，∴PE⊥CD，

∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，

∴PE⊥AC，（2分）

在Rt△BCE和Rt△ABC中，，∠ABC=∠BCE=90°，

∴Rt△BCE∽Rt△ABC，（4分）

∴∠BAC=∠CBE，∠ACB=∠BEC，

∴∠EBC+∠ACB=∠CAB+∠ACB=90°，

∴BE⊥CA，（5分）

∵BE∩PE=E，

∴AC⊥平面PBE，

∴AC⊥PB；（6分）

（Ⅱ）以E為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，則P（0,0,1），C（1,0,0），，,，則，，，（8分）

設平面的法向量為，則，取=，則=0，=－2，∴=（0，，-2），（10分）

設BD與平面所成角為，

則===，（11分）

∴BD與平面所成角的正弦值為．（12分）