Question

【題目】若函數f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的圖象關于直線x=﹣2對稱，則f（x）的最大值為 ．

Answer 1

【答案】16
【解析】解：∵函數f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的圖象關于直線x=﹣2對稱，
∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，
即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a（﹣5）+b]=0，
解之得 ，
因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，
求導數，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，
令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣ ，x2=﹣2，x3=﹣2+ ，
當x∈（﹣∞，﹣2﹣ ）時，f′（x）＞0；當x∈（﹣2﹣ ，﹣2）時，f′（x）＜0；
當x∈（﹣2，﹣2+ ）時，f′（x）＞0； 當x∈（﹣2+ ，+∞）時，f′（x）＜0
∴f（x）在區間（﹣∞，﹣2﹣ ）、（﹣2，﹣2+ ）上是增函數，在區間（﹣2﹣ ，﹣2）、（﹣2+ ，+∞）上是減函數．
又∵f（﹣2﹣ ）=f（﹣2+ ）=16，
∴f（x）的最大值為16．
故答案為：16．
由題意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用導數研究f（x）的單調性，可得f（x）在區間（﹣∞，﹣2﹣ ）、（﹣2，﹣2+ ）上是增函數，在區間（﹣2﹣ ，﹣2）、（﹣2+ ，+∞）上是減函數，結合f（﹣2﹣ ）=f（﹣2+ ）=16，即可得到f（x）的最大值．