Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx﹣ （a＞0），g（x）=4x+ + ，且y=f（x+ ）為偶函數(shù)．設(shè)集合A={x|t﹣1≤x≤t+1}．
（1）若t=﹣ ，記f（x）在A上的最大值與最小值分別為M，N，求M﹣N；
（2）若對任意的實(shí)數(shù)t，總存在x1 ， x2∈A，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥g（x）對x∈[0，1]恒成立，試求a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： = 為偶函數(shù)，

所以 ；

即t= ，f（x）=ax2﹣ x﹣ =a（x﹣ ）2﹣ ﹣ ，

在區(qū)間 上，

∵ ，

∴M﹣N=a；

（2）解：設(shè)2x=t，∵x∈[0，1]，∴t=2x∈[1，2]，

，

所以g（x）的最大值為 ．

依題意原命題等價(jià)于在A上，總存在兩個(gè)點(diǎn) ．

即只需滿足在A上 ．

因?yàn)閷θ我獾膖都成立，所以當(dāng) 也成立，由（1）知 ，

，

下面證明在[t﹣1，t+1]上總存在兩點(diǎn)x1、x2，使得 成立．

當(dāng)t≥1時(shí)，f（x）在[t，t+]遞增，當(dāng)t＜1時(shí)，f（x）在[t﹣1，t]遞減，

則|f（x1）﹣f（x2）|max≥f（t+1）﹣f（t）= t﹣ ≥ ，

|f（x1）﹣f（x2）|max≥f（t﹣1）﹣f（t）= ﹣ t＞ ，

綜上所述，

【解析】（1）由偶函數(shù)的定義，可得b=﹣ ，將f（x）配方，由對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得最大值和最小值，可得M﹣N=a；（2）設(shè)2x=t，求得g（x）的解析式（用t表示），求出最大值，結(jié)合條件可得a≥ ，證明在[t﹣1，t+1]上總存在兩點(diǎn)x1、x2 ， 使得 成立．注意運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到a的最小值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．