Question

【題目】如圖所示，直三棱柱中， ， 為的中點， 為的中點.

（1）求證： 面；

（2）若面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)與交于，連接，∵，則與平行且相等.∴四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（2）以的中點為原點，分別以方向為軸和軸正方向，以方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)與交于，連接，

∵，則與平行且相等.

∴四邊形為平行四邊形.

∴，又面， 面，

∴面.

（2）以的中點為原點，分別以方向為軸和軸正方向，以方向為軸正方向，建系如圖，設(shè)， ，則有

， ， ， ，

∴，∴，∴

由面，則.

則解得.

所以面的法向量為，

又設(shè)面的法向量為， ， ，

， ，所以，令，

則，

∴.

所以二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.