Question

(12分)古代印度婆羅門教寺廟內(nèi)的僧侶們?cè)��?jīng)玩過一種被稱為“河內(nèi)寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有個(gè)圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在柱上，現(xiàn)要將套在柱上的盤換到柱上，要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何時(shí)候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子可供使用.

現(xiàn)用表示將個(gè)圓盤全部從柱上移到柱上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回答下列問題：
(1)寫出 并求出(2)記 求和
(其中表示所有的積的和)
(3)證明：

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）見解析

(1)解：
事實(shí)上，要將個(gè)圓盤全部轉(zhuǎn)移到柱上，只需先將上面個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到柱上，需要
次轉(zhuǎn)移，然后將最大的那個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到柱上，需要一次轉(zhuǎn)移，再將柱上的個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到柱上，需要次轉(zhuǎn)移，所以有
則 所以
(2)
則



(3)令 則當(dāng)時(shí)


又 所以對(duì)一切有：


另方面恒成立，所以對(duì)一切有

綜上所述有：