Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，橢圓的左，右焦點分別為F1，F2，點M為橢圓上的一個動點，△MF1F2面積的最大值為，過橢圓外一點（m，0）（m＞a）且傾斜角為的直線l交橢圓于C，D兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）根據離心率和面積聯立方程解得橢圓方程.

（2）設直線方程為y（x﹣m），聯立方程根據韋達定理得到x1+x2＝m，x1x2，根據得到（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）＝0，代入化簡得到答案.

（1）∵離心率為，△MF1F2面積的最大值為，

∴，①，即bc＝2，②又∵b2＝a2﹣c2，③

由①②③解得，a，b，c＝2，∴橢圓方程為．

（2）根據題意設直線l方程y﹣0＝tan（x﹣m），即y（x﹣m），

C（x1，y1），D（x2，y2），

聯立直線l與橢圓的方程得2x2﹣2mx+m2﹣6＝0，

∴x1+x2＝m，x1x2，

y1y2，

若，則（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）＝0，

∴x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2＝0，∴，解得m＝3．