Question

已知雙曲線，點(diǎn)在曲線上，曲線的離心率為，點(diǎn)、為曲線上易于點(diǎn)A的任意兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)。
（1）求曲線上方程；
（2）若為曲線的焦點(diǎn)，求最大值；
（3）若以為直徑的圓過點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)。

Answer 1

（1）方程為
（2）由雙曲線的對(duì)稱性知，不妨設(shè)P在左支上，設(shè)，由焦半徑得：
，所以
所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)。
的最大值是。
（3）設(shè)，聯(lián)立直線PQ和雙曲線方程得：
，所以得。
且，由題知，
所以，
，
代入的，
解得或（舍去），所以PQ方程為，
即得PQ過定點(diǎn)
（說明：另解一，可以利用對(duì)稱和當(dāng)PQ垂直情況猜過軸上點(diǎn)，然后證明；
另解二，設(shè)AP斜率，求出P，Q坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式寫出方程判斷過定點(diǎn)，）

略