Question

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB．
（1）求證：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，

∴PC⊥AB．

∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，

∴CD⊥AB．又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB

（2）解：取AP的中點O，連接CO、DO．

∵PC=AC=2，∴C0⊥PA，CO= ，

∵CD⊥平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得DO⊥PA．

∴∠COD為二面角C﹣PA﹣B的平面角．

由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，

又∵AB=BC，AC=2，求得BC=

PB= ，CD=

∴

cos∠COD= ．

【解析】（1）要證AB⊥平面PCB，只需證明直線AB垂直平面PCB內的兩條相交直線PC、CD即可；（2）取AP的中點O，連接CO、DO；說明∠COD為二面角C﹣PA﹣B的平面角，然后解三角形求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．