Question

【題目】已知橢圓E： （a＞b＞0）的上頂點為P（0，1），過E的焦點且垂直長軸的弦長為1．若有一菱形ABCD的頂點A、C在橢圓E上，該菱形對角線BD所在直線的斜率為﹣1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）當直線BD過點（1，0）時，求直線AC的方程；
（3）當∠ABC= 時，求菱形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，b=1，

解 ，得|y|= ，

所以 ，a=2，

橢圓E的方程為

（2）解：直線BD：y=﹣1×（x﹣1）=﹣x+1，

設AC：y=x+b，

由方程組 得 ，

當 時，

A（x1，y1），C（x2，y2）的中點坐標為 =﹣ ， ，

ABCD是菱形，所以AC的中點在BD上，所以

解得 ，滿足△=5﹣b2＞0，所以AC的方程為y=x﹣

（3）解：因為四邊形ABCD為菱形，且 ，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積 ，

由（2）可得AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y2）2=2，

AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=2（x2﹣x1）2=2（x2+x1）2﹣8x1x2=2× = ，

因為 ，所以當且僅當b=0時，菱形ABCD的面積取得最大值，最大值為

【解析】（1）依題意，b=1，解 ，得|y|= ，所以 ，由此能求出橢圓E的方程．（2）直線BD：y=﹣1×（x﹣1）=﹣x+1，設AC：y=x+b，由方程組 得 ，再由根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質能推導出AC的方程．（3）因為四邊形ABCD為菱形，且 ，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積 ，由AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=2（x2﹣x1）2=2（x2+x1）2﹣8x1x2= ，能推導出當且僅當b=0時，菱形ABCD的面積取得最大值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用一般式方程和橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．