Question

【題目】某校為了解該校學生“停課不停學”的網(wǎng)絡學習效率，隨機抽查了高一年級100位學生的某次數(shù)學成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）估計這100位學生的數(shù)學成績的平均值.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）根據(jù)整個年級的數(shù)學成績，可以認為學生的數(shù)學成績近似地服從正態(tài)分布經(jīng)計算，（1）問中樣本標準差的近似值為10．用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，現(xiàn)任抽取一位學生，求他的數(shù)學成績恰在64分到94分之間的概率.

參考數(shù)據(jù):若隨機變量，則，，

（3）該年級1班的數(shù)學老師為了能每天督促學生的網(wǎng)絡學習，提高學生每天的作業(yè)質量及學習數(shù)學的積極性，特意在微信上設計了一個每日作業(yè)小程序，每當學生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時，就有機會參與一次小程序中“玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學后可根據(jù)獲得積分的多少領取老師相應的小獎品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎勵0分）或第15格（獎勵5分）時，游戲結束，每天的積分自動累加，設小兔子跳到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求的值.（獲勝的概率）

Answer 1

【答案】（1）74（2）0.8186（3）見解析，

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接結算即可；

（2）由可知，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，即可得出的概率；

（3）根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，構造等比數(shù)列可得，

利用累加法求出，即可求解.

（1）

（2）由，所以，

.

（3）小兔子開始在第1格，為必然事件，，

點一下開始按鈕，小兔子跳1格即移到第2格的概率為，即，

小兔子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種情況.

①小兔子先跳到第格，又點一下開始按鈕跳了2格，其概率為；

②小兔了先跳到第格，乂點一下開始按鈕跳了1格，其概率為；

因為，所以.

所以當時，

數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，

所以，

.

所以獲勝的概率.