Question

已知f（x）=x²+bx+c為偶函數，曲線y=f（x）過點（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求曲線y=g（x）有斜率為0的切線，求實數a的取值范圍；
（2）若當x=-1時函數y=g（x）取得極值，確定y=g（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）據偶函數的定義f（-x）=f（x）求出b值，將點（2，5）代入得c值，據導數在切點處的導數值為切線斜率，
有g′（x）=0有實數解，由△≥0得范圍．
（2），函數在極值點處的導數值為0，導數大于0對應區間是單調遞增區間；導數小于0對應區間是單調遞減區間．
解答：解：（1）∵f（x）=x²+bx+c為偶函數，故f（-x）=f（x）即有
（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c解得b=0
又曲線y=f（x）過點（2，5），得2²+c=5，有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a從而g′（x）=3x²+2ax+1，
∵曲線y=g（x）有斜率為0的切線，故有g′（x）=0有實數解．即3x²+2ax+1=0有實數解．
此時有△=4a²-12≥0解得
a∈（-∞，-]∪[，+∞）所以實數a的取值范圍：a∈（-∞，-]∪[，+∞）；
（2）因x=-1時函數y=g（x）取得極值，故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=-1，x2=
當x∈（-∞，-1）時，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上為增函數
當時，g′（x）＜0，故g（x）在（-1，-）上為減函數
當x∈（-）時，g′（x）＞0，故g（x）在上為增函數．
點評：本題考查偶函數的定義；利用導數幾何意義求曲線切線方程；利用導數求函數單調區間．