Question

【題目】在平面直角坐標系x0y中，已知點A（﹣ ，0），B（ ），E為動點，且直線EA與直線EB的斜率之積為﹣ ． （Ⅰ）求動點E的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設過點F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的兩點M，N．若點P在y軸上，且|PM|=|PN|，求點P的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設動點E的坐標為（x，y）， ∵點A（﹣ ，0），B（ ），E為動點，且直線EA與直線EB的斜率之積為﹣ ，
∴ ，
整理，得 ，x≠ ，
∴動點E的軌跡C的方程為 ，x ．
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，滿足條件的點P的縱坐標為0，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x﹣1），
將y=k（x﹣1）代入 ，并整理，得
（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
△=8k2+8＞0，
設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則 ，x1x2= ，
設MN的中點為Q，則 ， ，
∴Q（ ，﹣ ），
由題意知k≠0，
又直線MN的垂直平分線的方程為y+ =﹣ ，
令x=0，得yP= ，
當k＞0時，∵2k+ ，∴0＜ ；
當k＜0時，因為2k+ ≤﹣2 ，所以0＞yP≥﹣ =﹣ ．
綜上所述，點P縱坐標的取值范圍是[﹣ ]
【解析】（Ⅰ）設動點E的坐標為（x，y），由點A（﹣ ，0），B（ ），E為動點，且直線EA與直線EB的斜率之積為﹣ ，知 ，由此能求出動點E的軌跡C的方程．（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x﹣1），將y=k（x﹣1）代入 ，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由題設條件能推導出直線MN的垂直平分線的方程為y+ =﹣ ，由此能求出點P縱坐標的取值范圍．