Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的中心為原點，焦點，在軸上，離心率為.過的直線交于，兩點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）圓與軸正半軸相交于兩點，（點在點的左側），過點任作一條直線與橢圓相交于，兩點，連接，，求證.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）設橢圓C的方程為(a＞b＞0)，由離心率為，得，又△PQF2的周長為4a=，得a＝2，進而求出橢圓方程；

（2）把y＝0代入圓的方程求出x的值，確定M與N的坐標，當AB⊥x軸時，由橢圓的對稱性得證；當AB與x軸不垂直時，設直線AB為y=k（x﹣1），與橢圓方程聯立得到關于x的一元二次方程，設A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理表示出x1+x2，x1x2，進而表示出直線AN與直線BN斜率之和為0，即可得證．

(1)設橢圓C的方程為(a＞b＞0)．因為離心率為，所以，解得，即.又△PQF2的周長為|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)＝2a＋2a＝4a，所以又△PQF2的周長為，即a＝2，b＝2，

所以橢圓C的方程為.

(2)把y＝0代入＋(y－2)2＝,解得x＝1或x＝4，因為點在點的左側，即點M(1，0)，N(4，0)．

①當AB⊥x軸時，由橢圓的對稱性可知∠ANM＝∠BNM.

②當AB與x軸不垂直時，可設直線AB的方程為y＝k(x－1)．

聯立 (k2＋2)x2－2k2x＋k2－8＝0.

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則x1＋x2＝，x1x2＝.

因為y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝.

因為(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝＋8＝，

所以kAN＋kBN＝0，所以∠ANM＝∠BNM，綜上所述，∠ANM＝∠BNM.