Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的最小值；

（2）若對于任意恒成立，求的取值范圍；

（3）若，求函數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）時，當時取得最小值

（2）將不等式平方得，然后只需求出左邊的最小值即可

（3）圖象分別是以和為項點的開口向上的V型線，且兩條射線的斜率為，然后分7種情況討論這兩個函數的位置關系

（1）因為，所以，

所以當時，的最小值為1；

（2）因為對任意恒成立，

所以對任意恒成立，

所以，

即對任意恒成立，

所以，解得：，

所以；

（3），

圖象分別是以和為項點的

開口向上的V型線，且兩條射線的斜率為，

當時，即，所以，

此時令，所以.

若，，此時恒成立，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，

對應如下圖：

若，令，

即，所以.

所以，

此時為圖中紅色部分圖象，對應如下圖：

當時，即，所以，

此時令，所以，

若時，，令，

即，所以，

所以，

此時為圖中紅色部分圖象，對應如下圖：

若時，，此時恒成立，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，

對應如下圖：

當時，則，所以，所以恒成立，

令，即，所以，

當時，，

若時，則，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，

對應如下圖：

若時，則，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，

對應如下圖：

若，則，

所以，此時為圖中紅色部分圖象，

對應如下圖：

綜上所述：的最小值為