Question

平面內與兩定點連線的斜率之積等于非零常數的點的軌跡，加上 兩點，所成的曲線可以是圓，橢圓或雙曲線．
（Ⅰ）求曲線的方程，并討論的形狀與值的關系;
（Ⅱ）當時，對應的曲線為；對給定的，對應的曲線為，若曲線的斜率為的切線與曲線相交于兩點，且（為坐標原點），求曲線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）當曲線的方程為，是焦點在軸上的橢圓；
當時，曲線的方程為，是圓心在原點，半徑為2的圓；
當時，曲線的方程為，是焦點在軸上的橢圓；
當時，曲線的方程為，是焦點在軸上的雙曲線．
（Ⅱ）.

試題分析：（I）設動點為M，其坐標為，
當時，由條件可得，
即，又的坐標滿足，故依題意，曲線的方程為．  
當曲線的方程為，是焦點在軸上的橢圓；
當時，曲線的方程為，是圓心在原點，半徑為2的圓；
當時，曲線的方程為，是焦點在軸上的橢圓；
當時，曲線的方程為，是焦點在軸上的雙曲線． 
（Ⅱ）曲線；，：， 設圓的斜率為的切線和橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，令直線AB的方程為，①
將其代入橢圓的方程并整理得
由韋達定理得②
因為 ，所以    ③
將①代入③并整理得 
聯立②得④，因為直線AB和圓相切，因此，，
由④得 所以曲線的方程，即．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查圓錐曲線的軌跡問題，突出化歸思想、分類討論思想、方程思想的考查，綜合性強，難度大，屬于難題．